Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Теорема Менелая» для 2-11 класса - сложность 1-4 с решениями

На прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁относительно соответствующих биссектрис треугольника <i>ABC</i>, пересекают прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>&lt...

Из вершины <i>C</i>прямого угла треугольника <i>ABC</i>опущена высота <i>CK</i>, и в треугольнике <i>ACK</i>проведена биссектриса <i>CE</i>. Прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>CE</i>, пересекает <i>CK</i>в точке <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>делит отрезок <i>AC</i>пополам.

а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>BC</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>BE</i>:<i>CE</i>=<i>c</i>²:<i>b</i>². б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Окружность <i>S</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂.

Докажите, что прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156934">5.85</a>, а) с помощью теоремы Менелая.

Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках<i>A</i>,<i>B</i>и<i>C</i>пересекают продолжения сторон в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁лежат на одной прямой.=-1

а) В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы внешних углов<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁(точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁лежат на прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>). Докажите, что точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁лежат на одной прямой. б) В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы<i>AA</i>₁и<i>BB</i>₁и биссектриса внешнего угла<i>CC&...

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}}$^.$\displaystyle {\frac{\overline{CB_1}}{\overline{AB_1}}}$^.$\displaystyle {\frac{\overline{AC_1}}{\overline{BC_1}}}$ = 1        (<i>теорема Менел...