Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Проективные преобразования плоскости» - сложность 5 с решениями

Пусть <i>O</i> — центр линзы,$\pi$ — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось <i>a</i>и <i>f</i> — прямые пересечения плоскости $\pi$с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (<i>a</i>|<i>f</i>). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение <i>M'</i>точки <i>M</i>, лежащей в плоскости $\pi$, строится следующим образом (рис.). Проведем через точку <i>M</i>произвольную прямую <i>l</i>; пусть <i>A</i> — точка пересечения прямых <i>a</i>и <i>l</i>,<i>B</i> — точка пересечения прямой <i>f</i>с прямой, проходящей через <i>O</i>параллельно <...

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) отображает в точку с координатами$\left(\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right.$${\frac{1}{x}}$,${\frac{y}{x}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right)$, является проективным.

Даны две параллельные прямые <i>a</i>,<i>b</i>и точка <i>O</i>. Тогда для каждой точки <i>M</i>можно выполнить следующее построение. Проведем через <i>M</i>произвольную прямую <i>l</i>, не проходящую через <i>O</i>и пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>. Точки пересечения обозначим соответственно через <i>A</i>и <i>B</i>, и пусть <i>M'</i> — точка пересечения прямой<i>OM</i>с прямой, параллельной<i>OB</i>и проходящей через <i>A</i>. а) Докажите, что точка <i>M'</i>не зависит от выбора прямой <i>l</i>. б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку <i>M</i&...

Проективное преобразование некоторую окружность переводит в себя, а ее центр оставляет на месте. Докажите, что это — поворот или симметрия.

Дана окружность <i>S</i>и точка <i>O</i>внутри ее. Рассмотрим все проективные преобразования, которые <i>S</i>отображают в окружность, а <i>O</i> — в ее центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и ту же прямую.

Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа. б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную окружность в окружность, а точку <i>M</i> — в ее центр, то исключительная прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через <i>M</i>.

Даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁, удовлетворяющие тому же условию. а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>соответственно в точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁. б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное...

а) Докажите, что проективное преобразование <i>P</i>плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным. б) Докажите, что если точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования <i>P</i>плоскости $\alpha$, то<i>P</i>(<i>A</i>)<i>P</i>(<i>B</i>) :<i>P</i>(<i>C</i>)<i>P</i>(<i>D</i>) =<i>AB</i>:<i>CD</i>. в) Докажите, что если проективное преобразование <i>P</i>переводит параллельные прямые <i>l</i>₁и <i>l</i><sub>2</sub...

Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то а) через любые две точки проходит единственная прямая; б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке; в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.

Докажите, что при центральном проектировании прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.

Докажите, что если плоскости $\alpha_{1}^{}$и $\alpha_{2}^{}$пересекаются, то центральное проектирование $\alpha_{1}^{}$на $\alpha_{2}^{}$с центром <i>O</i>задает взаимно однозначное отображение плоскости $\alpha_{1}^{}$с выкинутой прямой <i>l</i>₁на плоскость $\alpha_{2}^{}$с выкинутой прямой <i>l</i>₂, где <i>l</i>₁и <i>l</i>₂ — прямые пересечения плоскостей $\alpha_{1}^{}$и $\alpha_{2}^{}$соответственно с плоскостями, проходящими через <i>O</i>и параллельными $\alpha_{2}^{}$и $\alpha_{1}^{}$. При этом на <i>l</i>₁отображение не определено.