Задача
Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x,y) отображает в точку с координатами$\left(\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right.$${\frac{1}{x}}$,${\frac{y}{x}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right)$, является проективным.
Решение
Первое решение.Обозначим данное преобразование через P. Доопределим его в точках прямойx= 0 и в бесконечно удаленных точках, положивP(0,k) =Mk,P(Mk) = (0,k), где Mk — бесконечно удаленная точка на прямойy=kx. Легко видеть, что доопределенное таким образом отображение Pвзаимно однозначно. Докажем, что каждая прямая переходит в прямую. Действительно, прямаяx= 0 и бесконечно удаленная прямая переходят одна в другую. Пустьax+by+c= 0 — произвольная другая прямая (т. е.bили cне равно нулю). ПосколькуPoP=E, образ любой прямой совпадает с ее прообразом. Ясно, что точкаP(x,y) лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когда${\frac{a}{x}}$+${\frac{by}{x}}$+c= 0, т. е.cx+by+a= 0. Остается воспользоваться задачей 30.14, г).
Второе решение(набросок). Если прямыеx= 1 и x= 0 обозначить соответственно через aи b, а точку (- 1, 0) — через O, то данное преобразование совпадает с преобразованием из предыдущей задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь