Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 9 класса - сложность 2 с решениями
глава 3. Окружности
НазадОкружность задана уравнением<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) = 0, где<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i><sup>2</sup>+<i>y</i><sup>2</sup>+<i>ax</i>+<i>by</i>+<i>c</i>. Докажите, что степень точки (<i>x</i><sub>0</sub>,<i>y</i><sub>0</sub>) относительно этой окружности равна<i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>,<i>y</i><sub>0</sub>).
Докажите, что степень точки <i>P</i>относительно окружности <i>S</i>равна <i>d</i><sup>2</sup>-<i>R</i><sup>2</sup>, где <i>R</i> — радиус <i>S</i>, <i>d</i> — расстояние от точки <i>P</i>до центра <i>S</i>.
Докажите, что для точки <i>P</i>, лежащей вне окружности <i>S</i>, ее степень относительно <i>S</i>равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки.
На плоскости даны окружность <i>S</i>и точка <i>P</i>. Прямая, проведенная через точку <i>P</i>, пересекает окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что произведение <i>PA</i><sup> . </sup><i>PB</i>не зависит от выбора прямой.
Две окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub>и <i>O</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке <i>M</i><sub>1</sub>, а вторую в точке <i>M</i><sub>2</sub>. Докажите, что $\angle$<i>BO</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub>=$\angle$<i>BO</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>2</sub>.
Хорда <i>AB</i>разбивает окружность <i>S</i>на две дуги. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается хорды <i>AB</i>в точке <i>M</i>и одной из дуг в точке <i>N</i>. Докажите, что: а) прямая <i>MN</i>проходит через середину <i>P</i>второй дуги; б) длина касательной <i>PQ</i>к окружности <i>S</i><sub>1</sub>равна <i>PA</i>.
Точки <i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с диаметром <i>AB</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>, <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AB</i>$\perp$<i>PQ</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Через точку <i>X</i>отрезка <i>BC</i>проведена прямая <i>KL</i>, перпендикулярная <i>XO</i>(точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>). Докажите, что <i>KX</i>=<i>XL</i>.
Через точку <i>P</i>, лежащую на общей хорде <i>AB</i>двух пересекающихся окружностей, проведены хорда <i>KM</i>первой окружности и хорда <i>LN</i>второй окружности. Докажите, что четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный.
Две окружности радиусов <i>R</i>и <i>r</i>касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.<img src="/storage/problem-media/54505/problem_54505_img_2.gif">
Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.