Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 7 класса - сложность 1-2 с решениями
глава 3. Окружности
НазадНа основании <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>, и в треугольники <i>ACE</i>и <i>ECB</i>вписаны окружности, касающиеся отрезка <i>CE</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Найдите длину отрезка <i>MN</i>, если известны длины отрезков <i>AE</i>и <i>BE</i>.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i>касается стороны <i>BC</i>в точке <i>K</i>, а вневписанная — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CK</i>=<i>BL</i>= (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника.
Прямые <i>PA</i>и <i>PB</i>касаются окружности с центром <i>O</i>(<i>A</i>и <i>B</i> — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки <i>PA</i>и <i>PB</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>. Докажите, что величина угла <i>XOY</i>не зависит от выбора третьей касательной.
Пусть <i>a</i>и <i>b</i> — длины катетов прямоугольного треугольника, <i>c</i> — длина его гипотенузы. Докажите, что:
а) радиус вписанной окружности треугольника равен (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2;
б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>)/2.
Две окружности радиусов <i>R</i>и <i>r</i>касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Точка <i>X</i>лежит на прямой <i>AB</i>, но не на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки <i>X</i>к окружностям, равны.