Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Применение теоремы о высотах треугольника» для 8 класса
параграф 6. Применение теоремы о высотах треугольника
НазадПусть <i>O</i><sub>a</sub>,<i>O</i><sub>b</sub>и <i>O</i><sub>c</sub> — центры описанных окружностей треугольников <i>PBC</i>,<i>PCA</i>и <i>PAB</i>. Докажите, что если точки <i>O</i><sub>a</sub>и <i>O</i><sub>b</sub>лежат на прямых <i>PA</i>и <i>PB</i>, то точка <i>O</i><sub>c</sub>лежит на прямой <i>PC</i>.
Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>, не лежащая на прямой <i>AB</i>. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпендикуляр из точки <i>C</i>на <i>AB</i>, если: а) точка <i>C</i>не лежит на окружности; б) точка <i>C</i>лежит на окружности.
Прямые <i>PC</i>и <i>PD</i>касаются окружности с диаметром <i>AB</i>(<i>C</i>и <i>D</i> — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая <i>P</i>с точкой пересечения прямых <i>AC</i>и <i>BD</i>, перпендикулярна <i>AB</i>.
Точки <i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с диаметром <i>AB</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>, <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AB</i>$\perp$<i>PQ</i>.