Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Три окружности одного радиуса» - сложность 3-5 с решениями

Три окружности одного радиуса проходят через точку <i>P</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>Q</i> — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку <i>Q</i>и пересекается с двумя другими в точках <i>C</i>и <i>D</i>. При этом треугольники <i>ABQ</i>и <i>CDP</i>остроугольные, а четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый (рис.). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56683/problem_56683_img_2.gif" border="1"></div>

Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., <i>а</i>или <i>б</i>. Докажите, что $\smile$<i>AB</i>₁+$\smile$<i>BC</i>₁±$\smile$<i>CA</i>₁= 180^<tt>o</tt>, где знак минус берется в случае <i>б</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56682/problem_56682_img_3.gif" border="1"></div>

Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.