Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Произведение длин отрезков хорд» - сложность 3 с решениями

Даны окружность <i>S</i>, точки <i>A</i>и <i>B</i>на ней и точка <i>C</i>хорды <i>AB</i>. Для каждой окружности <i>S'</i>, касающейся хорды <i>AB</i>в точке <i>C</i>и пересекающей окружность <i>S</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, рассмотрим точку <i>M</i>пересечения прямых <i>AB</i>и <i>PQ</i>. Докажите, что положение точки <i>M</i>не зависит от выбора окружности <i>S'</i>.

Даны окружность <i>S</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>вне ее. Для каждой прямой <i>l</i>, проходящей через точку <i>A</i>и пересекающей окружность <i>S</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>, рассмотрим описанную окружность треугольника <i>BMN</i>. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки <i>B</i>.

Прямая <i>OA</i> касается окружности в точке <i>A</i>, а хорда <i>BC</i> параллельна <i>OA</i>. Прямые <i>OB</i> и <i>OC</i> вторично пересекают окружность в точках <i>K</i> и <i>L</i>.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит отрезок <i>OA</i> пополам.