Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Индукция» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 1. Индукция
НазадДокажите, что если <i>n</i> точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее <i>n</i> различных.
На прямой даны точки <i>A</i><sub>1</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub>, ..., <i>B</i><sub><i>n</i>–1</sub>. Докажите, что <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_2.gif"> <img width="72" height="99" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_3.gif"> = 1.
Пусть <i>E</i> – точка пересечения боковых сторон <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD, B</i><sub><i>n</i>+1</sub> – точка пересечения прямых <i>A<sub>n</sub>C</i> и <i>BD</i> (<i>A</i><sub>0</sub> = <i>A</i>), <i>A</i><sub><i>n</i>+1</sub> – точка пересечения прямых <i>EB</i><sub><i>n</i>+1</sub> и <i>AB</i>. Докажите, что <i>A<sub>n</sub>B = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i>+1</sub>.
Докажите, что в выпуклом <i>n</i>-угольнике нельзя выбрать больше <i>n</i> диагоналей так, чтобы каждые две из них имели общую точку.
Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку, будут разного цвета.