Олимпиадные задачи из источника «глава 23. Делимость, инварианты, раскраски» для 10 класса
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Выпуклый многоугольник разрезан на<i>p</i>треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть<i>n</i>и<i>m</i>— количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его. а) Докажите, что<i>p</i>=<i>n</i>+ 2<i>m</i>- 2. б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2<i>n</i>+ 3<i>m</i>- 3.
Дан выпуклый 2<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2<i>n</i></sub>. Внутри него взята точка <i>P</i>, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка <i>P</i> принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках <i>A</i><sub>1</sub>,..., <i>A</i><sub>2<i>n</i></sub>.
Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)
На рис. изображен шестиугольник, разбитый на чёрные и белые треугольники так, что каждые два треугольника имеют либо общую сторону (и тогда они окрашены в разные цвета), либо общую вершину, либо не имеют общих точек, а каждая сторона шестиугольника является стороной одного из черных треугольников. Докажите, что десятиугольник разбить таким образом нельзя. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58168/problem_58168_img_2.gif" border="1"></div>