Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Чет и нечет» для 1-7 класса

Вершины правильного 2<i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i> разбиты на <i>n</i> пар.

Докажите, что если  <i>n</i> = 4<i>m</i> + 2  или  <i>n</i> = 4<i>m</i> + 3,  то две пары вершин являются концами равных отрезков.

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной <i>особой</i>, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

Окружность разбита точками на 3<i>k</i> дуг: по <i>k</i> дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

На плоскости лежат три шайбы <i>A, B</i> и <i>C</i>. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?

На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая <i>l</i> пересекает её ровно в 1985 точках.

Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:

  а) (2<i>n</i>+1)-угольника;  б) 2<i>n</i>-угольника?

На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?