Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда пересекаются какие-либо отмеченные дуги. Нужно доказать, что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной. Конечный результат работы маляра будет такой же, как если бы ему поручили наi-м обороте красить окружность, когдаi-я отмеченная дуга окружности, на которой сидит маляр, пересекается с какой-либо отмеченной дугой другой окружности, и сделали бы kоборотов. Пусть$\varphi_{1}^{}$,...,$\varphi_{n}^{}$ — угловые величины отмеченных дуг. По условию$\varphi_{1}^{}$<$\alpha$,...,$\varphi_{n}^{}$<$\alpha$, где$\alpha$= 180^o/(k²-k+ 1). За то время, пока пересекаются отмеченные дуги с номерами iи j, маляр окрашивает дугу величиной$\varphi_{i}^{}$+$\varphi_{j}^{}$. Поэтому сумма угловых величин дуг, окрашенных маляром наi-м обороте, не превосходитk$\varphi_{i}^{}$+ ($\varphi_{1}^{}$+...+$\varphi_{k}^{}$), а сумма угловых величин дуг, окрашенных за все kоборотов, не превосходит2k($\varphi_{1}^{}$+...+$\varphi_{k}^{}$). Заметим, что при этом пересечение дуг с одинаковыми номерами мы учли фактически kраз. В частности, точка A, мимо которой проезжает маляр в тот момент, когда совпадают отмеченные дуги, заведомо покрашена kраз. Поэтому целесообразно выбросить из рассмотрения те дуги окружности, которые маляр красит в моменты пересечения каких-либо отмеченных дуг с одинаковыми номерами. Так как все эти дуги содержат точку A, то фактически мы выбросили только одну дугу, причем угловая величина этой дуги не превосходит 2$\alpha$. Сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных наi-м обороте, не превосходит(k- 1)$\varphi_{1}^{}$+ ($\varphi_{1}^{}$+...+$\varphi_{k}^{}$-$\varphi_{i}^{}$), а сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных за все kоборотов, не превосходит(2k- 2)($\varphi_{1}^{}$+...+$\varphi_{k}^{}$) < (2k²- 2k)$\alpha$. Часть окружности останется неокрашенной, если выполняется неравенство(2k²-2k)$\alpha$$\le$360^o- 2$\alpha$, т. е.$\alpha$$\le$180^o/(k²-k+ 1).

Ответ задачи отсутствует