Олимпиадные задачи из источника «глава 20. Принцип крайнего» для 3-8 класса - сложность 5 с решениями
На плоскости дано несколько точек, попарные расстояния между которыми не превосходят 1. Докажите, что эти точки можно покрыть правильным треугольником со стороной$\sqrt{3}$.
На плоскости дано<i>n</i>$\ge$4 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трех из них найдется четвертая (тоже из данных), с которой они образуют вершины параллелограмма, то<i>n</i>= 4.
На плоскости дано <i>n</i>точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2<i>n</i>- 3.
На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причем через точку пересечения любых двух из них проходит еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/$\sqrt{3}$. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что если длины отрезков<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>не превосходят 1, то площадь треугольника<i>ABC</i>не превосходит1/$\sqrt{3}$.