Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 9-11 класса - сложность 1 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i>проведена высота <i>AH</i>; <i>O</i> — центр описанной окружности. Докажите, что $\angle$<i>OAH</i>= |$\angle$<i>B</i>-$\angle$<i>C</i>|.

На окружности взяты точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>AC</i>^.<i>AD</i>/<i>AM</i>=<i>BC</i>^.<i>BD</i>/<i>BM</i>.

Диагонали трапеции <i>ABCD</i>с основаниями <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>O</i>; точки <i>B'</i>и <i>C'</i>симметричны вершинам <i>B</i>и <i>C</i>относительно биссектрисы угла <i>BOC</i>. Докажите, что $\angle$<i>C'AC</i>=$\angle$<i>B'DB</i>.

Из произвольной точки <i>M</i>катета <i>BC</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>на гипотенузу <i>AB</i>опущен перпендикуляр <i>MN</i>. Докажите, что $\angle$<i>MAN</i>=$\angle$<i>MCN</i>.

Из точки <i>M</i>, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>PQ</i>не зависит от положения точки <i>M</i>.

В окружность вписаны равнобедренные трапеции <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что <i>AC</i>=<i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>симметричен центру описанной окружности относительно стороны <i>AB</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного <i>n</i>-угольника, кратны  ^180°/_<i>n</i>.