Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 8 класса - сложность 5 с решениями

Из центра <i>O</i>окружности опущен перпендикуляр <i>OA</i>на прямую <i>l</i>. На прямой <i>l</i>взяты точки <i>B</i>и <i>C</i>так, что <i>AB</i>=<i>AC</i>. Через точки <i>B</i>и <i>C</i>проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а вторая — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Прямые <i>PM</i>и <i>QN</i>пересекают прямую <i>l</i>в точках <i>R</i>и <i>S</i>. Докажите, что <i>AR</i>=<i>AS</i>.

Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.

Точки <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>симметричны некоторой точке <i>P</i>относительно сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>. а) Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AB'C'</i>,<i>A'BC'</i>,<i>A'B'C</i>и <i>ABC</i>имеют общую точку. б) Докажите, что описанные окружности треугольников <i>A'BC</i>,<i>AB'C</i>,<i>ABC'</i>и <i>A'B'C'</i>имеют общую точку <i>Q</i>. в) Пусть <i>I</i>,<i>J</i>,<i>K</i>и <i>O</i> — центры описанных окружносте...

а) Окружность, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает стороны <i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, а его описанную окружность в точке <i>M</i>. Докажите, что $\triangle$<i>AB</i>₁<i>M</i>$\sim$$\triangle$<i>BA</i>₁<i>M</i>. б) На лучах <i>AC</i>и <i>BC</i>отложены отрезки <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, равные полупериметру треугольника <i>ABC</i>. <i>M</i> — такая точка его описанной окружности, что <i>CM</i&gt...

Дан треугольник <i>ABC</i>. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.