Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны BCи ACтреугольника ABCв точках A₁и B₁, а его описанную окружность в точке M. Докажите, что $\triangle$AB₁M$\sim$$\triangle$BA₁M. б) На лучах ACи BCотложены отрезки AA₁и BB₁, равные полупериметру треугольника ABC. M — такая точка его описанной окружности, что CM||A₁B₁. Докажите, что $\angle$CMO= 90^o, где O — центр вписанной окружности.

Решение

а) Так как $\angle$CAM=$\angle$CBMи $\angle$CB₁M=$\angle$CA₁M, то $\angle$B₁AM=$\angle$A₁BMи $\angle$AB₁M=$\angle$BA₁M. б) Пусть M₁ — такая точка окружности Sс диаметром CO, что CM₁||A₁B₁; M₂ — точка пересечения окружности Sс описанной окружностью треугольника ABC;A₂и B₂ — точки касания вписанной окружности со сторонами BCи AC. Достаточно проверить, что M₁=M₂. Согласно задаче a) $\triangle$AB₂M₂$\sim$$\triangle$BA₂M₂, поэтому B₂M₂:A₂M₂=AB₂:BA₂. А так как CA₁=p-b=BA₂и CB₁=AB₂, то

$\displaystyle {\frac{B_2M_1}{A_2M_1}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B_2CM_1}{\sin A_2CM_1}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin CA_1B_1}{\sin CB_1A_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CB_1}{CA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{AB_2}{BA_2}}$.

На дуге A₂CB₂окружности Sсуществует единственная точка X, для которой B₂X:A₂X=k(см. задачу 7.14), поэтому M₁=M₂.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления