Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 3-7 класса - сложность 1-2 с решениями
глава 2. Вписанный угол
НазадОкружность разделена на равные дуги <i>n</i> диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки <i>M</i>, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что если $\angle$<i>CAA</i><sub>1</sub>=$\angle$<i>CBB</i><sub>1</sub>, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.
Диагональ <i>AC</i>квадрата <i>ABCD</i>совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника <i>ACK</i>, причем точки <i>B</i>и <i>K</i>лежат по одну сторону от прямой <i>AC</i>. Докажите, что <i>BK</i>= |<i>AK</i>-<i>CK</i>|/$\sqrt{2}$и <i>DK</i>= (<i>AK</i>+<i>CK</i>)/$\sqrt{2}$.
Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>с прямым углом<i>A</i>движется так, что его вершины<i>B</i>и<i>C</i>скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек<i>A</i>является отрезок и найдите его длину.
а) Продолжение биссектрисы угла <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>M</i>;<i>O</i> — центр вписанной окружности, <i>O</i><sub>b</sub> — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>C</i>,<i>O</i>и <i>O</i><sub>b</sub>лежат на окружности с центром <i>M</i>. б) Точка <i>O</i>, лежащая внутри треугольника <i>ABC</i>, обладает тем свойством, что прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>проходят через центры описанных окружностей треугольников <i>BCO</i>,<i>ACO</i>и <i>ABO...
Из произвольной точки <i>M</i>, лежащей внутри данного угла с вершиной <i>A</i>, опущены перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на стороны угла. Из точки <i>A</i>опущен перпендикуляр <i>AK</i>на отрезок <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>PAK</i>=$\angle$<i>MAQ</i>.
Две окружности пересекаются в точках <i>M</i>и <i>K</i>. Через <i>M</i>и <i>K</i>проведены прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно, пересекающие первую окружность в точках <i>A</i>и <i>C</i>, вторую в точках <i>B</i>и <i>D</i>. Докажите, что <i>AC</i>||<i>BD</i>.
Вершина <i>A</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>соединена отрезком с центром <i>O</i>описанной окружности. Из вершины <i>A</i>проведена высота <i>AH</i>. Докажите, что $\angle$<i>BAH</i>=$\angle$<i>OAC</i>.
Биссектриса внешнего угла при вершине <i>C</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AD</i>=<i>BD</i>.
Центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>симметричен центру описанной окружности относительно стороны <i>AB</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
а) Из точки<i>A</i>, лежащей вне окружности, выходят лучи<i>AB</i>и<i>AC</i>, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла<i>BAC</i>равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.б) Вершина угла <i>BAC</i> расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла <i>BAC</i> равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла <i>BAC</i> и внутри угла, симметричного ему относительно вершины <i>A</i>.