Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники» для 4-8 класса - сложность 3-5 с решениями

а) Окружность, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает стороны <i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, а его описанную окружность в точке <i>M</i>. Докажите, что $\triangle$<i>AB</i>₁<i>M</i>$\sim$$\triangle$<i>BA</i>₁<i>M</i>. б) На лучах <i>AC</i>и <i>BC</i>отложены отрезки <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, равные полупериметру треугольника <i>ABC</i>. <i>M</i> — такая точка его описанной окружности, что <i>CM</i&gt...

Окружность <i>S</i>₁с диаметром <i>AB</i>пересекает окружность <i>S</i>₂с центром <i>A</i>в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Через точку <i>B</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i>₂в точке <i>M</i>, лежащей внутри <i>S</i>₁, а <i>S</i>₁в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>MN</i>²=<i>CN</i>^.<i>ND</i>.

На высотах треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁; <i>B</i>₂и <i>C</i>₂ — середины высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>

Пятиугольник <i>ABCDE</i> вписан в окружность. Расстояния от точки <i>A</i> до прямых <i>BC, CD</i> и <i>DE</i> равны соответственно <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Найдите расстояние от вершины <i>A</i> до прямой <i>BE</i>.