Задача
В окружность вписаны треугольники T1и T2, причем вершины треугольника T2являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T1. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T1и T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T1и пересекаются в одной точке.
Решение
Обозначим вершины треугольника T1через A,Bи C; середины дуг BC,CA,ABчерез A1,B1,C1. Тогда T2=A1B1C1. Прямые AA1,BB1,CC1являются биссектрисами треугольника T1, поэтому они пересекаются в одной точке O. Пусть прямые ABи C1B1пересекаются в точке K. Достаточно проверить, что KO||AC. В треугольнике AB1Oпрямая B1C1является биссектрисой и высотой, поэтому этот треугольник равнобедренный. Следовательно, треугольник AKOтоже равнобедренный. Прямые KOи ACпараллельны, так как $\angle$KOA=$\angle$KAO=$\angle$OAC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь