Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Гомотетичные многоугольники» для 1-9 класса - сложность 1-3 с решениями
параграф 1. Гомотетичные многоугольники
НазадПусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>;<i>M</i><sub>1</sub>,...,<i>M</i><sub>n</sub> — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>соответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и <i>M</i><sub>1</sub>...<i>M</i><sub>n</sub>гомотетичны.
Пусть <i>R</i>и <i>r</i> — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
Окружность <i>S</i>касается равных сторон<i>AB</i>и <i>BC</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках <i>P</i>и <i>K</i>, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что середина отрезка<i>PK</i>является центром вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>.
Медианы<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>треугольника<i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>;<i>P</i> — произвольная точка. Прямая <i>l</i><sub>a</sub>проходит через точку <i>A</i>параллельно прямой<i>PA</i><sub>1</sub>; прямые <i>l</i><sub>b</sub>и <i>l</i><sub>c</sub>определяются аналогично. Докажите, что: а) прямые <i>l</i><sub>a</sub>,<i>l</i><sub>b</sub>и <i>l</i><sub>c</sub>пересекаются в одной точке <i>Q</i>; б) точка <i>M</i>лежит на отрезке<...
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.
Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.