Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Повороты на произвольные углы» - сложность 5 с решениями

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

На векторах$\overrightarrow{A_iB_i}$, где<i>i</i>= 1,...,<i>k</i>, построены правильные одинаково ориентированные<i>n</i>-угольники<i>A</i>_i<i>B</i>_i<i>C</i>_i<i>D</i>_i... (<i>n</i>$\ge$4). Докажите, что<i>k</i>-угольники<i>C</i>₁...<i>C</i>_kи <i>D</i>₁...<i>D</i>_kправильные одинаково ориентированные тогда и только тогда, когда<i>k</i>-угольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_kи <i>...

Дан треугольник<i>ABC</i>. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.