Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Теорема Шаля» - сложность 2-5 с решениями
параграф 6. Теорема Шаля
НазадПусть движение плоскости переводит фигуру<i>F</i>в фигуру<i>F'</i>. Для каждой пары соответственных точек<i>A</i>и<i>A'</i>рассмотрим середину<i>X</i>отрезка<i>AA'</i>. Докажите, что либо все точки<i>X</i>совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную<i>F</i>.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i>=<i>S</i><sub>AC</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>AB</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>BC</sub>является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину2<i>R</i>sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$, где<i>R</i>— радиус описанной окружности,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$— углы данного треугольника.
Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.
Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом.
Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.