Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Симметрия помогает решить задачу» - сложность 3 с решениями

Через точку <i>M</i>основания<i>AB</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его боковые стороны<i>CA</i>и <i>CB</i>(или их продолжения) в точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>:<i>A</i>₁<i>M</i>=<i>B</i>₁<i>B</i>:<i>B</i>₁<i>M</i>.

Равные окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Произвольная точка <i>C</i>окружности <i>S</i>соединена отрезками с точками <i>A</i>₁и <i>A</i>₂. Эти отрезки пересекают <i>S</i>₁и <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂. Докажите, что<i>A</i>₁<i>A</i>₂|<i>B</i><...