Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Перенос помогает решить задачу» - сложность 2-3 с решениями

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

В трапеции<i>ABCD</i>стороны<i>BC</i>и <i>AD</i>параллельны,<i>M</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>,<i>N</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что2<i>MN</i>= |<i>AB</i>+<i>CD</i>-<i>BC</i>-<i>AD</i>|.

Пусть <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. а) Докажите, что<i>KM</i>$\le$(<i>BC</i>+<i>AD</i>)/2, причем равенство достигается, только если<i>BC</i>|<i>AD</i>. б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника<i>ABCD</i>найдите максимальные значения длин отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Точка <i>M</i>, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне<i>BC</i>до пересечения со стороной<i>CA</i>, затем параллельно<i>AB</i>до пересечения с <i>BC</i>, затем параллельно<i>AC</i>до пересечения с <i>AB</i>и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

В каком месте следует построить мост <i>MN</i> через реку, разделяющую две данные деревни <i>A</i> и <i>B</i>, чтобы путь <i>AMNB</i> из деревни <i>A</i> в деревню <i>B</i> был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).