Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 10 класса - сложность 5 с решениями
Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.
Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$.
Внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>взята точка <i>O</i>так, что$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Пусть<i>d</i>=<i>OA</i><sub>1</sub>+...+<i>OA</i><sub>n</sub>. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4<i>d</i>/<i>n</i>при <i>n</i>четном и не меньше4<i>dn</i>/(<i>n</i><sup>2</sup>- 1) при <i>n</i>нечетном.
На плоскости даны четыре вектора <b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>и <b>d</b>, сумма которых равна нулю. Докажите, что<div align="CENTER"> |<b>a</b>| + |<b>b</b>| + |<b>c</b>| + |<b>d</b>|$\displaystyle \ge$|<b>a</b> + <b>d</b>| + |<b>b</b> + <b>d</b>| + |<b>c</b> + <b>d</b>|. </div>