Олимпиадные задачи из источника «параграф 12. Неравенства для остроугольных треугольников» - сложность 4 с решениями

Докажите, что треугольник <i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Пусть <i>h</i> — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что <i>r</i>+<i>R</i>$\leq$<i>h</i>.

Пусть$\angle$<i>A</i><$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>C</i>< 90^<tt>o</tt>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит внутри треугольника<i>BOH</i>, где<i>O</i> — центр описанной окружности,<i>H</i> — точка пересечения высот.