Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» для 2-8 класса - сложность 1 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что

  а) касательная в точке <i>A</i> к описанной окружности параллельна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁;

  б)  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>OA</i>,  где <i>O</i> – центр описанной окружности.

Пусть <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i> и <i>ABC</i> подобны. Чему равен коэффициент подобия?

На боковых сторонах <i>AB</i>и<i>CD</i>трапеции <i>ABCD</i>взяты точки<i>M</i>и<i>N</i>так, что отрезок<i>MN</i>параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину <i>MN</i>, если<i>BC</i>=<i>a</i>и<i>AD</i>=<i>b</i>.

На стороне <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>. Через точку <i>E</i>проведены прямая <i>DE</i>параллельно стороне <i>BC</i>и прямая <i>EF</i>параллельно стороне <i>AB</i>(<i>D</i>и<i>E</i> — точки соответственно на этих сторонах). Докажите, что<i>S</i>_BDEF= 2$\sqrt{S_{ADE}\cdot S_{EFC}}$.

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма.

Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких – ромбом, для каких – квадратом?

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведена высота  <i>CH</i>. Докажите, что  <i>AC</i>² = <i>AB·AH</i>  и  <i>CH</i>² = <i>AH·BH</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>C·BC = B</i>₁<i>C·AC</i>.