Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Вспомогательные равные треугольники» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 4. Вспомогательные равные треугольники
НазадНа сторонах треугольника <i>ABC</i> как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники <i>AB</i><sub>1</sub><i>С</i> и <i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i> внешним образом и <i>BA</i><sub>1</sub><i>C</i> внутренним образом. Докажите, что <i>AB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> – параллелограмм.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> построены внешним образом правильные треугольники <i>BCK</i> и <i>DCL</i>.
Докажите, что треугольник <i>AKL</i> правильный.
Через вершину <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> проведены прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, пересекающие его стороны. Из точек <i>B</i> и <i>D</i> опущены перпендикуляры <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub>, <i>DD</i><sub>1</sub> и <i>DD</i><sub>2</sub> на эти прямые. Докажите, что отрезки <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>D</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>2</sub> равны и перпендикулярны.
Точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i>, а точка <i>L</i> делит диагональ <i>AC</i> в отношении <i>AL</i> : <i>LC</i> = 3 : 1. Докажите, что угол <i>KLD</i> прямой.