Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми» - сложность 2 с решениями

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AD</i> и <i>BC</i> прямоугольника <i>ABCD</i>. На продолжении отрезка <i>DC</i> за точку <i>D</i> взята точка <i>P, Q</i> – точка пересечения прямых <i>PM</i> и <i>AC</i>. Докажите, что  ∠<i>QNM</i> = ∠<i>MNP</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁.

Докажите, что расстояние от любой точки <i>M</i> отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁ до прямой <i>AB</i> равно сумме расстояний от <i>M</i> до прямых <i>AC</i> и <i>BC</i>.

а) Точки<i>A, B</i>и<i>C</i>лежат на одной прямой, а точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁– на другой. Докажите, что если  <i>AB</i>₁||<i>BA</i>₁  и  <i>AC</i>₁||<i>CA</i>₁,  то  <i>BC</i>₁||<i>CB</i>₁.б) Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой, а точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ таковы, что  <i>AB</i>&l...

Точки <i>A</i> и <i>B</i> высекают на окружности с центром <i>O</i> дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка <i>M</i>.

Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>MA</i> и <i>OB</i>, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>MB</i> и <i>OA</i>.

На основании <i>AD</i> трапеции <i>ABCD</i> взята точка  <i>E</i> так, что  <i>AE = BC</i>.  Отрезки <i>CA</i> и <i>CE</i> пересекают диагональ <i>BD</i> в точках <i>O</i> и <i>P</i> соответственно.

Докажите, что если  <i>BO = PD</i>,  то  <i>AD</i>² = <i>BC</i>² + <i>AD·BC</i>.

Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.

Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

На диагонали <i>BD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взята точка <i>K</i>. Прямая <i>AK</i> пересекает прямые <i>BC</i> и <i>CD</i> в точках <i>L</i> и <i>M</i>. Докажите, что  <i>AK</i>² = <i>LK·KM</i>.

Вершины параллелограмма <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ лежат на сторонах параллелограмма <i>ABCD</i> (точка <i>A</i>₁ лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>B</i>₁ – на стороне <i>BC</i> и т. д.).

Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

На стороне <i>AD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взята точка <i>P</i> так, что  <i>AP</i> : <i>AD</i> = 1 : <i>n,  Q</i> – точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BP</i>.

Докажите, что  <i>AQ</i> : <i>AC</i> = 1 : (<i>n</i> + 1).

Прямая, соединяющая точку <i>P</i> пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD</i> с точкой <i>Q</i> пересечения прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>, делит сторону <i>AD</i> пополам.

Докажите, что она делит пополам и сторону <i>BC</i>.

а) Точки<i>A</i>₁и<i>B</i>₁делят стороны<i>BC</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>в отношениях  <i>BA</i>₁:<i>A</i>₁<i>C</i>= 1 :<i>p</i>  и  <i>AB</i>₁:<i>B</i>₁<i>C</i>= 1 :<i>q</i>.  В каком отношении отрезок<i>AA</i>₁делится отрезком<i>BB</i>₁?б) На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁ и <i>B</i><sub>1&...

Основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> равны <i>a</i> и <i>b</i>  (<i>a > b</i>).

  а) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии.

  б) Найдите длину отрезка <i>MN</i>, концы которого делят стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в отношении  <i>AM</i> : <i>MB = DN</i> : <i>NC = p</i> : <i>q</i>.

Через точку <i>P</i>, лежащую на медиане <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i>, проведены прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ (точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ лежат на сторонах <i>BC</i> и <i>CA</i> соответственно).

Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>AB</i>.