Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Системы счисления» для 9 класса

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  ½ (3^<i>k</i> – 1)  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  3^<i>k</i> – 1  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?

На доске сохранилась полустертая запись<div align="CENTER" class="mathdisplay"> <img width="137" height="86" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30835/problem_30835_img_2.gif"> </div>Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите слагаемые.

Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить четность числа по его записиа) в троичной системе счисления;б) в системе счисления с основанием <i>n</i>.