Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Системы счисления» - сложность 2 с решениями

Сформулируйте и докажите признак делимости на

  а) делитель числа "основание системы счисления – 1" (аналогичный признаку делимости на 3).

  б) "основание + 1" (аналогичный признаку делимости на 11).

  в) делитель числа "основание + 1" (аналога нет!).

Сформулируйте и докажите признак делимости на

  а) степень основания системы счисления (аналогичный признакам делимости на 100, 1000, ...).

  б) делитель основания системы счисления (аналогичный признакам делимости на 2 и на 5).

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?

На доске сохранилась полустертая запись<div align="CENTER" class="mathdisplay"> <img width="137" height="86" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30835/problem_30835_img_2.gif"> </div>Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите слагаемые.

Существует ли система счисления, в которой одновременноа) 3 + 4 = 10 и 3 · 4 = 15;б) 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 11?