Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Инвариант» для 9 класса

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны <i>a</i> и <i>b</i>, то их можно заменить на   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_2.gif">  и  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_3.gif"> .  Можно ли с помощью таких операций получить тройку   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_4.gif">   из тройки   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30779/problem_30779_img_5.gif">

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.

Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

В задаче 19 выясните, какие карточки можно получить из карточки (5, 19), а какие нельзя.

Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

В пробирке находятся марсианские амебы трех типов:<i>A</i>,<i>B</i>и<i>C</i>. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа<i>A</i>было 20 штук, типа<i>B</i>- 21 штука и типа<i>C</i>- 22 штуки?

Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i> + 1 и<i>b</i> + 1; второй по карточке с четными числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i>/2 и<i>b</i>/2; третий автомат по паре карточек с числами<i>a</i>,<i>b</i>и<i>b</i>,<i>c</i>выдает карточку с числами<i>a</i>,<i>c</i>. Все автоматы возвращают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (5, 19) получить карточку (1, 1988)?

Можно ли доску размерами 4 × <i>N</i>обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1 × 4 и 2 × 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2 × 2 потерялась. Ее заменили на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  <i>k</i> = 3;   б)  <i>k</i> = 4;   в)  <i>k</i> = 6.

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.

Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?