Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» - сложность 4 с решениями
Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.
Тройки чисел(<i>x</i><sub>n</sub>,<i>y</i><sub>n</sub>,<i>z</i><sub>n</sub>)(<i>n</i>$\geqslant$1) строятся по правилу:<i>x</i><sub>1</sub>= 2,<i>y</i><sub>1</sub>= 4,<i>z</i><sub>1</sub>= 6/7,<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$, <i>y</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$, <i>z</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$, (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div> а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неог...
Последовательность чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>,...задается условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что а) эта последовательность неограничена; б)<i>a</i><sub>9000</sub>> 30; в) найдите предел$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.
Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$... </div>
Предположим, что цепные дроби <img width="400" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61331/problem_61331_img_2.gif"> сходятся. Согласно задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161330">161330</a>, они будут сходиться к корням многочлена <i>x</i>² – <i>px + q</i> = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">161328</a>): <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> – <img width="98" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/sto...
Найдите с точностью до 0,01 сотый член<i>x</i><sub>100</sub>последовательности {<i>x</i><sub>n</sub>}, если а)<i>x</i><sub>1</sub>$\in$[0; 1],<i>x</i><sub>n + 1</sub>=<i>x</i><sub>n</sub>(1 -<i>x</i><sub>n</sub>), (<i>n</i>> 1); б)<i>x</i><sub>1</sub>$\in$[0, 1; 0, 9],<i>x</i><sub>n + 1</sub>= 2<i>x</i><sub>n</sub>(1 -<i>x</i><sub>n</sub>), (<i>n</i>> 1).
С какой гарантированной точностью вычисляется$\sqrt{k}$при помощи алгоритма задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161299">9.48</a>после пяти шагов?
Докажите, что для чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">161297</a> можно в явном виде указать разложения в цепные дроби: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [1;<img width="61" height="62" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_2.gif">].
Оцените разность |<i>x<sub>n</sub></i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61316/problem_61316_img_3.gif">|.
Получите формулу для корня уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0:
<i>x</i> = <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_2.gif"> + <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_3.gif">.