Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Теоремы Ферма и Эйлера» для 5-8 класса - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что  2^<i>b</i> – 1  делится на <i>a</i>.

Найдите все целые числа <i>a</i>, для которых число  <i>a</i>¹⁰ + 1  делится на 10.

Докажите, что  7⁵¹ – 1  делится на 103.

Окружность разделена <i>n</i> точками на <i>n</i> равных частей. Сколько можно составить различных замкнутых ломаных из <i>n равных</i> звеньев с вершинами в этих точках?

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем <i>n</i>.

Докажите, что если  <i>n</i> > 2,  то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем <i>n</i> чётно.

Докажите, что если  <i>x</i>² + 1  (<i>x</i> – целое) делится на нечётное простое <i>p</i>, то  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 1.

Будет ли простым число  257¹⁰⁹² + 1092?

Докажите, что для любого натурального числа найдётся кратное ему число, десятичная запись которого состоит только из 0 и 1.

Докажите, что

  а)  <img width="62" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60735/problem_60735_img_2.gif">  делится на 13;

  б)  <img width="62" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60735/problem_60735_img_3.gif">  делится на 17.

Найдите такое <i>n</i>, чтобы число  10^<i>n</i> – 1  делилось на  а) 7;  б) 13;  в) 91;  г) 819.