Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики» - сложность 1 с решениями

Разложите в цепные дроби числа ¹⁴⁷/₁₃ и ¹²⁹/₁₁₁.

Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство  [^α/_<i>d</i>] = [^[α]/_<i>d</i>].

Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.

Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно  [^α/_<i>d</i>].

Сколько различных делителей имеют числа    а)  2·3·5·7·11;    б)  2²·3³·5⁵·7⁷·11¹¹ ?

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 1,  для которых  <i>n</i>³ – 3  делится на  <i>n</i> – 1.

Для некоторых целых <i>x</i> и <i>y</i> число  3<i>x</i> + 2<i>y</i>  делится на 23. Докажите, что число  17<i>x</i> + 19<i>y</i>  также делится на 23.

Докажите, что  (<i>bc, ac, ab</i>)  делится на  (<i>a, b, c</i>)².

Может ли наибольший общий делитель двух натуральных чисел быть больше их разности?

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

Докажите, что составное число <i>n</i> всегда имеет делитель, больший 1, но не больший  <img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60461/problem_60461_img_2.gif">.

Докажите, что если число  <i>n</i>! + 1  делится на  <i>n</i> + 1,  то  <i>n</i> + 1  – простое число.

Найдите все простые числа <i>p</i> и <i>q</i>, для которых выполняется равенство  <i>p</i>² – 2<i>q</i>² = 1.

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

На сколько нулей оканчивается число 100!?