Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Рекуррентные последовательности» для 5-9 класса
параграф 2. Рекуррентные последовательности
НазадКаким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности a) <i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>2</sup>; б) <i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>3</sup>?
Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 4<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 5<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i><sub>0</sub> = 1, <i>a</i><sub>1</sub> = 2, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 2<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 2<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align...
Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.3</a>) последовательности (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.2</a>) имеет комплексные корни<i>x</i><sub>1, 2</sub>=<i>a</i>±<i>ib</i>=<i>re</i><sup>±i$\scriptstyle \varphi$</sup>. Докажите, что для некоторой пары чисел<i>c</i><sub>1</sub>,<i>c</i><sub>2</sub>будет выполняться равенство<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n</sub> = <i>r</i><sup>n</sup>(<i>c</i><sub>1</sub>cos <i>n</i>$\displaystyle \var...
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Определим последовательности {<i>x</i><sub>n</sub>} и {<i>y</i><sub>n</sub>} при помощи условий:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n</sub> = <i>x</i><sub>n - 1</sub> + 2<i>y</i><sub>n - 1</sub>sin<sup>2</sup>$\displaystyle \alpha$, <i>y</i><sub>n</sub> = <i>y</i><sub>n - 1</sub> + 2<i>x</i><sub>n - 1</sub>cos<sup>2</sup>$\displaystyle \alpha$; <i>x</i><sub>0</sub> = 0, <i>y</i><sub>0</sub> = cos$\displaystyle \alpha$. </div>Найдите выражение для<i>x</i><sub>n</sub>и<i>y</...
Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на<i>n</i>-ом году роста первоначального растения?
Докажите, что для любого числа<i>p</i>> 2 найдется такое число$\beta$, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{},$ = $\displaystyle \beta^{2^n}{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$. </div>
Лягушка прыгает по вершинам треугольника <i>ABC</i>, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>A</i> за <i>n</i> прыжков?
Докажите, что произвольная последовательность<i>Q</i><sub>n</sub>, заданная условиями<div align="CENTER"> <i>Q</i><sub>0</sub> = $\displaystyle \alpha$, <i>Q</i><sub>1</sub> = $\displaystyle \beta$, <i>Q</i><sub>n + 2</sub> = <i>Q</i><sub>n + 1</sub> + <i>Q</i><sub>n</sub> (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0), </div>может быть выражена через числа Фибоначчи<i>F</i><sub>n</sub>и числа Люка<i>L</i><sub>n</sub>(определение чисел Люка смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>).
Докажите, что уравнение (<i>x + y</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)<sup>4</sup> + (<i>z + t</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)<sup>4</sup> = 2 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif"> не имеет решений в рациональных числах.
Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 5<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 6<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i><sub>0</sub> = 1, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 3<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 2<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align...
Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>} имеет корень<i>x</i><sub>0</sub>кратности 2. Докажите, что при фиксированных<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>существует ровно одна пара чисел<i>c</i><sub>1</sub>,<i>c</i><sub>2</sub>такая, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n</sub> = (<i>c</i><sub>1</sub> + <i>c</i><sub>2</sub><i>n</i>)<i>x</i><sub>0</sub><sup>n</sup> (<i>n</i> = 0, 1,...
Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>} имеет два различных корня<i>x</i><sub>1</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>. Докажите, что при фиксированных<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>существует ровно одна пара чисел<i>c</i><sub>1</sub>,<i>c</i><sub>2</sub>такая, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n</sub> = <i>c</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>1</sub><sup>n</sup> + <i>c</i><sub>2</sub><i>x<...
Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i><sub>n</sub>} =<i>bx</i><sub>0</sub><sup>n</sup>удовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i><sub>0</sub>-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}.
<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i><sub>n+2</sub>=<i>p</i><i>a</i><sub>n+1</sub>+<i>q</i><i>a</i><sub>n</sub> </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...