Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечные разности» для 1-9 класса - сложность 3-4 с решениями
параграф 1. Конечные разности
Назад<b>Дискретная теорема Лиувилля.</b>Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>) функция, то есть существует положительная константа<i>M</i>такая, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \forall$(<i>x</i>, <i>y</i>) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$<sup>2</sup> | <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)| $\displaystyle \leqslant$ <i>M</i>. </div>Докажите, что функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) равна константе.
Для каких натуральных<i>n</i>в выражении<div align="CENTER"> ±1<sup>2</sup>±2<sup>2</sup>±3<sup>2</sup>±...±<i>n</i><sup>2</sup> </div>можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?
Докажите, что при всех натуральных <i>n</i> число <i>f</i> (<i>n</i>) = 2<sup>2<i>n</i>–1</sup> – 9<i>n</i>² + 21<i>n</i> – 14 делится на 27.
а) Пусть <i>q</i> – натуральное число и функция <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cq<sup>x</sup></i> + <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup></i> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>a</i><sub>0</sub> принимает целые значения при <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.
Докажите, что при любом натуральном <i>x</i> число <i>f</i>(<i>x</i>) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и <i>f</i>(<i>x</i>) делится на некоторое целое <i>m</i> ≥ 1 при <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1. Докажите, что &l...
При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы: а)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i><sup>2</sup><i>q</i><sup>k - 1</sup>; б)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>sin <i>kx</i>; в)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i><sup>2</sup>cos <i>kx</i>.
Найдите : <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)}}$; </td> <td align="LEFT">д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$${\dfrac{1}{k^2-1}}$; </td> <td align="LEFT">е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{k-1}{k!}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$; </td> <td align="LEFT"> ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>! <i>k</i>.</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{(k-1),2^k}{k(k+1)}}$;<...
Докажите равенство<div align="CENTER"> <i>f</i> (<i>x</i> + <i>n</i>) = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$<i>C</i><sub>n</sub><sup>k</sup>$\displaystyle \Delta^{k}_{}$<i>f</i> (<i>x</i>). </div>
Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>m</i> существует единственный многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>m</i> + 1 , для которого Δ<i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(0) = 0.