Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями

Докажите неравенства из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161387">161387</a> при помощи <i>неравенства Мюрхеда</i> (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161424">161424</a>). Как будут выглядеть диаграммы Юнга для соответствующих функций?

Пусть  <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x, y, z</i>)  для всех неотрицательных <i>x, y, z</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61423/problem_61423_img_2.gif"> Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, про показатели смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для  <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.

Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой  (4, 0, 0, 0)  и заканчивая самой пологой  (1, 1, 1, 1).

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif">   тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1,  <i>j</i> + 1, <i>i</i>),     (<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1),     (<i>k, j, i</i>)   ↔ (<i>k,  j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...

Напишите многочлены <i>T</i>_α и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов α

  а)  (3, 2);    б)  (3, 2, 1);    в)  (3, 3, 0, 0);    г)  (4, 1, 1, 0).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, определение диаграмм Юнга в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

  <b>Определение</b>. Пусть  α = (<i>k, j, i</i>)  – набор целых неотрицательных чисел,  <i>k ≥ j ≥ i</i>.  Через <i>T</i>_α(<i>x, y, z</i>) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида <i>x^ay^bz^c</i> по всем шести перестановкам  (<i>a, b, c</i>)  набора  (<i>k, j, i</i>).

  Аналогично определяются многочлены <i>T</i>_α для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.

  Запишите через многочлены вида <i>T</i>_α неравенства

  а)  <i>x</i><sup...

Докажите, что если  <i>x + y + z</i> = 6,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.

Докажите, что для любых<i>x</i>₁,...,<i>x</i>_n$\in$[0; $\pi$] справедливо неравенство:<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$. </div>

<b>Неравенство Иенсена.</b>Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂, ...,<i>x</i>_n(<i>n</i>$\geqslant$2) из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$, ...,$\alpha_{n}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$+...+$\alpha_{n}^{}$= 1, выполняется неравенство:<div align="CENTER"> <i>f</i> ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$<i>x</i><sub>n</sub&g...

Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$= 1 выполняется неравенство: <div align="CENTER"> <i>f</i>$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$<i>x</i>₂$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i&gt...

<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i>_A⁽¹⁾,<i>k</i>_B⁽¹⁾,<i>k</i>_A⁽²⁾,<i>k</i>_B⁽²⁾. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i>_A^{(1) .}<i>N</i&gt...

Докажите справедливость оценок:   а)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_2.gif">   б)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_3.gif">   в)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_4.gif">   г)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_5.gif">

Как расставить скобки в выражении2^{2^{.^{.^.²}}}, чтобы оно было максимальным?

Докажите, что для любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> хотя бы одно из чисел  <img width="32" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61396/problem_61396_img_2.gif">,  <img width="34" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61396/problem_61396_img_3.gif">  не больше  <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61396/problem_61396_img_4.gif">.

Докажите, что при  <i>x</i> ∈ (0, ^π/₂)  выполняется неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61395/problem_61395_img_2.gif">

Найдите наименьшую величину выражения   <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_2.gif"> + <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_3.gif"> + ... + <img width="127" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_4.gif">.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> сумма   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61391/problem_61391_img_2.gif">   лежит в пределах от ½ до ¾.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> справедливо неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61390/problem_61390_img_2.gif">

Докажите неравенства:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">

Значения переменных считаются положительными.

Докажите <i>неравенство Чебышёва</i>   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif">   при условии, что   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>   и

<i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>.

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   3(<i>a</i>₁<i>b</i>₁+<i>a</i>₂<i>b</i>₂+<i>a</i>₃<i>b</i>₃) ≥ (<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃)(<i>b</i>₁+<i>b</i>₂+<i>b</i>₃)  при  <i>a</i>₁≥<i>a</i>₂≥<i>a</i>₃, <i>b</i>₁≥<i>b</i>₂≥...

Докажите для положительных значений переменных неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61383/problem_61383_img_2.gif">

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61382/problem_61382_img_2.gif">