Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 2-8 класса - сложность 2-5 с решениями
а) Диаграммы Юнга (4, 1, 1) и (3, 3, 0) не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.
Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой (4, 0, 0, 0) и заканчивая самой пологой (1, 1, 1, 1).
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif"> тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k, j, i</i>) ↔ (<i>k</i> – 1, <i>j</i> + 1, <i>i</i>), (<i>k, j, i</i>) ↔ (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1), (<i>k, j, i</i>) ↔ (<i>k, j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...
Докажите, что если <i>x + y + z</i> = 6, то <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.
<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i><sub>A</sub><sup>(1)</sup>,<i>k</i><sub>B</sub><sup>(1)</sup>,<i>k</i><sub>A</sub><sup>(2)</sup>,<i>k</i><sub>B</sub><sup>(2)</sup>. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i><sub>A</sub><sup>(1) . </sup><i>N</i>...
Докажите неравенства: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">
Значения переменных считаются положительными.
Докажите <i>неравенство Чебышёва</i> <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif"> при условии, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> и
<i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>.
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство 3(<i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub>+<i>a</i><sub>3</sub><i>b</i><sub>3</sub>) ≥ (<i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+<i>a</i><sub>3</sub>)(<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+<i>b</i><sub>3</sub>) при <i>a</i><sub>1</sub>≥<i>a</i><sub>2</sub>≥<i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>≥<i>b</i><sub>2</sub>≥...
Докажите неравенство для положительных значений переменных: 2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>ab</i>(<i>a + b</i>) + <i>ac</i>(<i>a + c</i>) + <i>bc</i>(<i>b + c</i>).
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>²(1 + <i>b</i><sup>4</sup>) + <i>b</i>²(1 + <i>a</i><sup>4</sup>) ≤ (1 + <i>a</i><sup>4</sup>)(1 + <i>b</i><sup>4</sup>).
Докажите неравенство (<img width="26" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61372/problem_61372_img_2.gif"> + <img width="26" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61372/problem_61372_img_3.gif">)<sup>8</sup> ≥ 64<i>xy</i>(<i>x + y</i>)² (<i>x, y</i> ≥ 0).
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i>² + 1 ≥ 2<i>x</i>(<i>xy</i>² – <i>x + z</i> + 1).
Докажите неравенство (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²) при <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].
Докажите неравенство (<i>a</i> + 1)(<i>b</i> + 1)(<i>a</i> + <i>c</i>)(<i>b</i> + <i>c</i>) ≥ 16<i>abc</i> для положительных значений переменных.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>a</i>²<i>c</i>² ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61366/problem_61366_img_2.gif"> при |<i>x|, |y</i>| < 1.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: (<i>ab + bc + ac</i>)² ≥ 3<i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите, что при любых <i>a, b, c</i> имеет место неравенство <i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> + <i>c</i><sup>4</sup> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
<i>a, b, c</i> ≥ 0. Докажите, что (<i>a + b</i>)(<i>a + c</i>)(<i>b + c</i>) ≥ 8<i>abc</i>.