Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 3-6 класса - сложность 2 с решениями
На столе лежат четыре одинаковые монеты. Разрешается двигать монеты, не отрывая их от стола. Нужно расположить (не пользуясь измерительными инструментами!) монеты так, чтобы можно было положить на стол пятую монету такого же размера, касающуюся этих четырёх.
Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)
Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.
Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)
Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.
Все поля шахматной доски 8×8 покрыли 32 косточками домино (каждая косточка закрывает в точности два поля).
Докажите, что число вертикально лежащих косточек чётно.
На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.
а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод?
б) Можете ли вы определить, какой это будет плод?
в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?
Докажите, что никакая прямая не может пересечь все три стороны треугольника (в точках, отличных от вершин).
Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Петр – втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына Петра?
Расставьте скобки в выражении 1-2-3-4-5-6-7=0 так, чтобы получилось верное равенство.
Переложите в равенстве X – I = I одну из спичек так, чтобы получилось верное равенство.
Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на <b>5</b>. Докажите, что каждое из этих чисел делится на <b>5</b>.
Обозначим через d<sub>k</sub>количество таких домов в Москве, в которых живет не меньше k жителей, и через c<sub>m</sub>- количество жителей в m-ом по величине населения доме. Докажите равенство c<sub>1</sub>+c<sub>2</sub>+c<sub>3</sub>+... = d<sub>1</sub>+d<sub>2</sub>+d<sub>3</sub>+... .
Студенты кафедры высшей геометрии и топологии, находясь летом на отдыхе, разрезали арбуз на 4 части и съели. Могло ли получиться 5 корок?
Из десятизначного числа 2946835107 вычеркнули 5 цифр. Какое наибольшее число могло в результате этого получиться?
Если от некоторого трёхзначного числа отнять 6, то оно разделится на 7, если отнять 7, то оно разделится на 8, а если отнять 8, то оно разделится на 9.
Определите это число.
Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути.
Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
10 человек собрали вместе 46 грибов, причём известно, что нет двух человек, собравших одинаковое число грибов.
Сколько грибов собрал каждый?
Два пловца одновременно прыгнули с плывущего по реке плота и поплыли в разные стороны: первый – по течению, а второй – против течения. Через пять минут они развернулись и вскоре вновь оказались на плоту. Кто из них вернулся раньше? (Каждый из пловцов плывет с постоянной собственной скоростью.)
В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трёх щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться?
В турнире по шахматам участвуют мастера спорта и кандидаты в мастера. Какое наименьшее число людей может участвовать в этом турнире, если известно, что среди них мастеров меньше половины, но больше 45%.
Солдаты построены в две шеренги по <i>n</i> человек, так что каждый солдат из первой шеренги не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги. В шеренгах солдат выстроили по росту. Докажите, что после этого каждый солдат из первой шеренги также будет не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги.
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны 370, 372, ... , 468 кг, на семи трёхтонках?