Олимпиадные задачи по теме «Принцип Дирихле» для 11 класса - сложность 5 с решениями
Принцип Дирихле
НазадВ квадрате<i> n</i>×<i>n </i>клеток бесконечной шахматной доски расположены<i> n<sup>2</sup> </i>фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через[<i><img src="/storage/problem-media/109694/problem_109694_img_2.gif"></i>]ходов.
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых<i>A</i>, параллельными переносами, переводящими<i>A</i>в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).
Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.
Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна<i>p</i>. Обозначим эту систему отрезков<i>A</i>. Пусть<i>B</i> — дополнительная система отрезков (отрезки систем<i>A</i>и<i>B</i>не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос<i>T</i>, для которого пересечение<i>B</i>и<i>T</i>(<i>A</i>) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше<i>p</i>(1 -<i>p</i>)/2.
Попарные расстояния между точками<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше$\pi$, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>.
Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по <i>k</i>дуг, угловые величины каждой из которых меньше${\frac{1}{k^2-k+1}}$<sup> . </sup>180<sup><tt>o</tt></sup>, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.
Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.