Задача
Попарные расстояния между точкамиA1,...,Anбольше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше$\pi$, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точекA1,...,An.
Решение
Пусть $\Phi$ — данная фигура,S1,...,Sn — круги радиуса 1 с центрами в точкахA1,...,An. Так как кругиS1,...,Snпопарно не пересекаются, то фигурыVi=$\Phi$$\cap$Siпопарно не пересекаются, а значит, сумма их площадей не превосходит площади фигуры $\Phi$, т. е. она меньше $\pi$. Пусть O — произвольная точка и Wi — образ фигуры Viпри переносе на вектор$\overrightarrow{A_iO}$. Фигуры Wiлежат внутри круга Sрадиуса 1 с центром Oи сумма их площадей меньше площади этого круга. Поэтому некоторая точка Bкруга Sне принадлежит ни одной из фигур Wi. Ясно, что перенос на вектор$\overrightarrow{BO}$искомый.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь