Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические методы» для 8 класса - сложность 4 с решениями

За круглым столом заседают <i>N</i> рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?

(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

Для прохождения теста тысячу мудрецов выстраивают в колонну. Из колпаков с номерами от 1 до 1001 один прячут, а остальные в случайном порядке надевают на мудрецов. Каждый видит только номера на колпаках всех впереди стоящих. Далее мудрецы по порядку от заднего к переднему называют вслух целые числа. Каждое число должно быть от 1 до 1001, причём нельзя называть то, что уже было сказано. Результат теста – число мудрецов, назвавших номер своего колпака. Мудрецы заранее знали условия теста и могли договориться, как действовать.

  а) Могут ли они гарантировать результат более 500?

  б) Могут ли они гарантировать результат не менее 999?

По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников <i>кликой</i>, если все они дружат между собой. Их число называется <i>размером</i> клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.

Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов. б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.

Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Мишень "бегущий кабан" находится в одном из<i> n </i>окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?

На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все50<i>· </i>70вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?

В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  <i>m, n</i> > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на  <i>m + n</i>?

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

Имеются одна красная и <i>k</i>  (<i>k</i> > 1)  синих ячеек, а также колода из 2<i>n</i> карт, занумерованных числами от 1 до 2<i>n</i>. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем <i>n</i> можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?

По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.

В некоторых клетках доски 2<i>n</i>×2<i>n</i> стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимаются все чёрные фишки, которые стоят в одной вертикали с какой-то белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с какой-нибудь из оставшихся чёрных. Докажите, что либо чёрных, либо белых фишек на доске осталось не более <i>n</i>².

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо один, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

Ювелир сделал незамкнутую цепочку из<i> N></i>3пронумерованных звеньев. Капризная заказчица потребовала изменить порядок звеньев в цепочке. Из вредности она заказала такую незамкнутую цепочку, чтобы ювелиру пришлось раскрыть как можно больше звеньев. Сколько звеньев придется раскрыть?

Обозначим<i> S</i>(<i>x</i>)сумму цифр числа<i> x </i>. Найдутся ли три таких натуральных числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>, что<i> S</i>(<i>a+b</i>)<i><</i>5,<i> S</i>(<i>a+c</i>)<i><</i>5и<i> S</i>(<i>b+c</i>)<i><</i>5, но<i> S</i>(<i>a+b+c</i>)<i>></i>50?

В каждую клетку квадратной таблицы размера  (2^<i>n</i> – 1)×(2^<i>n</i> – 1)  ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём <i>удачной</i>, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.