Олимпиадные задачи по теме «Логика и теория множеств» для 11 класса - сложность 5 с решениями

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (<i>x,y</i>)такие, что<i> x²+y²<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115399/problem_115399_img_2.gif"> </i>10<i></i>10. Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

В нашем распоряжении имеются 3^2<i>k</i>неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3<i>k + </i>1 взвешиваний?

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине<i> A </i>квадрата<i> ABCD </i>находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке<i> A </i>). Вначале лиса сидит в точке<i> C </i>, а зайцы – в точках<i> B </i>и<i> D </i>. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше<i> v </i>, а зайцы – по лучам<i> AB </i>и<i> AD </i>со скоростью не больше 1. При каких значениях<i> v </i>лиса сможет поймать обоих зайцев?

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы. а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна? б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2. в) Докажите, что для любого числа <i>s</i>>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей <i>s</i>.

На химической конференции присутствовало<i>k</i>учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4<i>k</i>вопросов; б) 2<i>k</i>- 2 вопросов.

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что<i>n</i>не<nobr>меньше <i>x</i>»</nobr><nobr>(число <i>x</i></nobr>он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной<nobr>стратегии <i>T</i></nobr>второго игрока сопоставим функцию<i>f</i>_<i>T</i>(<i>n</i>), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано<nobr>число <i>n</i>.</nobr>Пусть, например,<nobr>стратегия <i>T</i></nobr>состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что<i>n</i>не...

На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими? Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?

В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет. а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами. б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.