Приводимое решение дает возможность выяснить, кто — химик, а кто — алхимик, даже за меньшее, чем 2k- 2, число вопросов, а именно — заq= 3mвопросов, еслиk= 2m+ 1 — число нечётное, и за 3m- 2 вопросов, еслиk= 2m — число чётное. Вначале мы рассмотрим нечётныеk. Искомый способ мы определим индукцией поm. Если на конференции присутствовалk= 1 учёный (m = 0), то он, очевидно, химик, поскольку химиков должно быть больше; никаких вопросов в этом случае задавать не надо:q= 0 = 3 ^. 0.

Предположим теперь, что для всех нечётных чисел, меньших данного числаk= 2m+ 1, мы уже имеем способ, позволяющий решить задачу в требуемое число вопросов. Укажем такой способ для числаk= 2m+ 1. Перенумеруем для удобства всех участников конференции произвольным образом и начнем спрашивать второго, третьего и т. д. учёных, кто есть первый учёный. Этот опрос мы прекратим, как только произойдёт одно из двух событий: Событие A.Среди опрошенных учёных большинство высказалось за то, что первыйучёный — алхимик. Событие B.Число учёных, утверждающих, что первый учёный — химик, равноm. Ясно, что если произошло событиеAи к этому моментуtучёных утверждали, что первый учёный — химик, иf — что он алхимик, тоf = t + 1. (Действительно,f>t, а если предположить, чтоf≥t+ 2, то событиеAдолжно произойти хотя бы на один вопрос раньше.) Ясно, кроме того, что при этом опросе было заданоq₁=f+t= 2f− 1 вопросов. (Частным случаем событияAявляется ситуация, когда уже второй учёный сказал, что первый является алхимиком — здесьt= 0,f= 1.) Если же произошло событиеBи при этомfучёных утверждали, что первый учёный — алхимик, то общее число заданных вопросов равноq₁=m+f.

Нетрудно видеть, что опрос прервётся до того, как будут опрошены все учёные, присутствующие на конференции. В самом деле, предположим противное. Значит, перед опросом последнего учёного не произошло ни одно из событийA,B. Пусть в этот момент среди опрошенных учёныхtчеловек высказались за то, что первый учёный — химик иf — за то, что он алхимик. Поскольку не произошло событияA,f≤t. Поскольку не произошло события В,t≤m− 1. Поэтому общее число опрошенныхf+t≤ 2(m− 1). Добавив к ним первого и последнего учёных, мы получаем, что общее число участников конференции не превосходит 2m, тогда как их 2m+ 1. Полученное противоречие доказывает, что одно из событий —AилиB — произойдёт до того, как будет опрошен последний учёный. Пусть произошло событиеA. Тогда мы утверждаем, что в группе учёных, состоящей из первого учёного и всех опрошенных учёных, число алхимиков не меньше числа химиков. Действительно, если первый учёный — химик, то теfучёных, которые утверждали, что он алхимик, — сами алхимики. Поскольку общее число учёных в рассматриваемой группе есть 1 +t+f= 2f, число алхимиков в группе в этом случае не меньше числа химиков. Если же первый учёный — алхимик, то алхимиками являются и теtучёных, которые утверждали, что он химик. Поэтому и в этом случае число алхимиков не меньше 1 +t=f, то есть не меньше половины. Далее, поскольку общее число химиков превосходит по условию задачи общее число алхимиков, в оставшейся группе изk− 2f= 2(m−f) + 1 учёных число химиков также должно превосходить число алхимиков. Числоk− 2f, очевидно, меньшеk, поэтому по предположению индукции существует способ, позволяющий заq₂= 3(m−f) вопросов выяснить, кто в оставшейся группе учёных есть химик и кто — алхимик. Выберем теперь из этой группы произвольного химика (такой, очевидно, найдётся) и спросим его (на это уйдётq₃= 1 вопрос), кто есть первый учёный. Если он алхимик, то теtучёных, которые утверждали, что он химик, — алхимики. Поэтому нам остаётся лишь выяснить у выбранного нами химика, "кто есть кто" среди техfучёных, которые утверждали, что первый учёный — алхимик (на это уйдёт ещёq₄=fвопросов). В результате мы восстановим полную картину разбиения участников конференции на химиков и алхимиков и истратим на этоq = q₁ + q₂ + q₃ + q₄ = 2f − 1 + 3(m − f) + 1 + f = 3mвопросов, что и требовалось. Если же первый учёный оказался химиком, то теfучёных, которые утверждали, что он алхимик, сами являются алхимиками. Поэтому нам остаётся выяснить у выбранного нами химика лишь "кто есть кто" в группе изtучёных, утверждавших, что первый учёный — химик. На это мы затратимq₄=tвопросов. Общее число вопросовq=q₁+q₂+q₃+q₄= 2f− 1 + 3(m−f)+ 1 +t= 3m− 1 в этом случае даже меньше того числа вопросов которое мы вправе использовать. Тем самым случай, когда произошло событиеA, полностью разобран.

Рассмотрим теперь тот случай, когда произошло событиеB. Мы утверждаем, что в этом случае первый учёный — химик. В самом деле, если бы он был алхимиком, то и теmучёных, которые утверждали, что он химик, тоже были алхимиками и общее число алхимиков было бы не меньшеm+ 1, то есть больше половины, а это противоречит условию задачи.

Итак, первый учёный — химик, а теfучёных, которые утверждали, что он алхимик, сами — алхимики. Выясним теперь у первого учёного "кто есть кто" среди техmучёных, которые утверждали, что он химик  (на это уйдётq₂=mвопросов),  и "кто есть кто" среди остальных учёных, не участвовавших в опросе  (на это уйдёт ещёq₃ = k − (1 + m + f) = 2m + 1 − 1 − m − f = m − fвопросов). Таким образом, мы полностью выясним "кто есть кто" на конференции и затратим на этоq=q₁+q₂+q₃=m+f+ +m+m-f= 3mвопросов. Тем самым оба случая — и когда происходит событиеA, и когда происходит событиеB — рассмотрены, и поэтому для нечётного числа участников задача полностью решена. Пусть теперьk=2m– четное число. Удалим одного участника. По доказанному, за 3m-1 вопрос мы узнаем "кто есть кто". С помощью еще одного вопроса, заданного химику, мы узнаем, кем является последний участник. (Решение из статьи XXX "О людях правдивых, лгунах и обманщиках", Квант 1980 номер 11 с.8-11.)

Ответ задачи отсутствует