Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 7-8 класса - сложность 2 с решениями

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

Рассматривается числовой треугольник: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98176/problem_98176_img_2.gif"></div>(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73613/problem_73613_img_2.gif">   где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа. Докажите это.

Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95.

Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?

Докажите, что если  <i>a + b + c</i> = 0,  то   2(<i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵) = 5<i>abc</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²).

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то   (<i>a</i> + <i>b</i>)^<i>p</i> – <i>a^p – b^p</i>   делится на  <i>p</i> при любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что если <i>p</i> – простое число и  1 ≤ <i>k ≤ p</i> – 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60668/problem_60668_img_2.gif">  делится на <i>p</i>.

В разложении  (<i>x + y</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите <i>x, y</i> и <i>n</i>.

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60414/problem_60414_img_2.gif">

Вычислите суммы:   a)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">

Докажите справедливость формулы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">

Последовательность {<i>a_n</i>} определяется правилами:  <i>a</i>₀ = 9,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif">  .

Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i>₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Не встречается ли    а) в 100-й строке треугольника Паскаля число  1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99?    б) в 200-й строке сумма квадратов чисел, стоящих в 100-й строке?

Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля

  а) больше трёх раз.

  б) больше четырёх раз.

Докажите, что каждое число <i>a</i> в треугольнике Паскаля равно

  а) сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом <i>a</i>.

  б) сумме чисел предыдущей левой диагонали, начиная с самого правого вплоть до стоящего слева над числом <i>a</i>.

Докажите, что  <img width="219" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30712/problem_30712_img_2.gif">

Докажите, что из <i>n</i> предметов чётное число предметов можно выбрать 2^<i>n</i>–1 способами.

План города имеет схему, изображенную на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/30710/problem_30710_img_2.gif"></div>На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".

Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки <i>A</i> в точку <i>B</i>.