Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 5-8 класса - сложность 3-4 с решениями
Треугольник Паскаля и бином Ньютона
НазадДокажите, что при любых натуральных 0 <<i>k</i><<i>m < n</i> числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif"> не взаимно просты.
В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?
Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i><sup>9</sup>)<sup>3</sup>(1 + <i>x</i><sup>–1</sup> + ... + <i>x</i><sup>–9</sup>)<sup>3</sup> = <i>x</i><sup>27</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + ... + <i>x</i><sup>–27</sup>;...
Пусть <i>a<sub>n</sub></i> – число решений уравнения <i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i> = <i>n</i> в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a<sub>n</sub></i>.
а) Докажите равенства: <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)<sup><i>k</i></sup> = (1 – <i>x</i>)<sup>–<i>k</i></sup>.
б) Найдите формулу для <i>a<sub>n</sub></i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.
а) Докажите, что если <i>p</i> — простое число и 2 ≤ <i>k ≤ p</i> – 2, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60670/problem_60670_img_2.gif"> делится на <i>p</i>. б) Верно ли обратное утверждение?
Докажите, что число <img width="100" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60558/problem_60558_img_2.gif"> (<i>m</i>, <i>n</i> ≥ 0) целое.
При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (<i>a + b</i>)<sup><i>n</i></sup> нечётны?
Докажите, что каждое число <i>a</i> в треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число <i>a</i> (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).