Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» - сложность 1 с решениями
Стереометрия
НазадТорт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116606/problem_116606_img_2.gif"></div>
В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub>. Найдите площадь треугольника <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</s...
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>
Поросёнок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Вписанная в тетраэдр<i> ABCD </i>сфера касается его граней<i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>и<i> BCD </i>в точках<i> D<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>и<i> A<sub>1</sub> </i>соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки<i> A </i>и плоскости<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр<i> ABCD </i>.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой<i> h </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром<i> b </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> β </i>боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и углом<i> α </i>бокового ребра с плоскостью основания,
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>боковым ребром<i> b </i>.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания<i> a </i>и высотой<i> h </i>.