Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Из вершины <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина <i>C</i> лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин <i>B</i> и <i>D</i> проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>K</i> и <i>M</i> принадлежат сторонам <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно, причём <i>AM</i> – биссектриса угла <i>KAD</i>.

Докажите, что  <i>AK</i> = <i>DM</i> + <i>BK</i>.

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁  (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  равны. Вершины <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ расположены соответственно на продолжениях стороны <i>BC</i> за точку <i>C</i>, стороны <i>BA</i> за точку <i>A</i>, стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>, причём  <i>...

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и  <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁   (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  подобны и  <i>BC</i> : <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 4 : 3.  Вершина <i>B</i>₁ расположена на стороне <i>AC</i>, вершины <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ – соответственно на продолжениях стороны <i>BA</i>...

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и   <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁  (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  подобны и  <i>AB</i> : <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 2 : 1.  Вершины <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ расположены соответственно на сторонах <i>CA, AB</i> и <i>BC</i>, причём   <i>A</i&g...

Равнобедренные треугольники <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁   (<i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>B</i>₁<i>C</i>₁)  подобны и  <i>AC</i> : <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 5 : <img width="30" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/53823/problem_53823_img_2.gif">.  Вершины <i>A</i>₁ и <i>B</i><sub>1</sub...