Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?

Натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, где <i>c</i> ≥ 2, таковы, что  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> = ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что хотя бы одно из чисел  <i>a + c,  b + c</i> – составное.

Даны натуральные числа <i>M</i> и <i>N</i>, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  <i>M</i> = 3<i>N</i>.  Чтобы получить число <i>M</i>, надо в числе <i>N</i> к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число <i>N</i>?

Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?

На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3·33·333·...·3333333333 ?

Известно, что числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> – целые и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116922/problem_116922_img_2.gif">.  Может ли выполняться равенство  <i>аbcd</i> = 2012?

Под ёлкой лежат 2012 шишек. Винни-Пух и ослик Иа-Иа играют в игру: по очереди берут себе шишки. Своим ходом Винни-Пух берёт одну или четыре шишки, а Иа-Иа – одну или три. Первым ходит Пух. Проигравшим считается тот, у кого нет хода. Кто из игроков сможет гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.

На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>. (Например,  <i>C</i>(10) = 2,  <i>C</i>(11) = 1,  <i>C</i>(12) = 2.)

Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (<i>a, b</i>),  что  <i>a ≠ b</i>  и  <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?

Может ли число  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)² + (<i>y</i>² + <i>y</i> + 1)²  при каких-то целых <i>x</i> и <i>y</i> оказаться точным квадратом?

Может ли произведение трёх трёхзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?

Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Может ли число  <i>a + b + c + d</i>  оказаться простым?

В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?

Является ли простым число  2011·2111 + 2500?

Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?

На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.

Приведите пример таких чисел.

Назовём натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i> <i>друзьями</i>, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если <i>a</i> – друг <i>b</i>, то <i>a</i> – друг НОД(<i>a, b</i>).

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.

Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно <i>n</i> побед, а каждая команда второй группы – ровно <i>m</i> побед. Могло ли оказаться, что  <i>m</i> ≠ <i>n</i>?

Петя выбрал натуральное число  <i>a</i> > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + <i>a</i>,  1 + <i>a</i>²,  1 + <i>a</i>³,  ...,  1 + <i>a</i>¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.

Из любого ли натурального числа <i>A</i> при помощи таких операций можно получить число <i>A</i> + 1?

(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

Найдите все такие тройки простых чисел <i>p, q, r</i>, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число  <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 4)  будет целым.

Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, не превосходящих 2012, что сумма  1^<i>n</i> + 2^<i>n</i> + 3^<i>n</i> + 4^<i>n</i>  оканчивается на 0?